L'emballage cadeau Five Oranges a déjoué les meilleurs esprits en mathématiques pendant des générations

Envelopper parfaitement des objets sphériques ensemble semble trivial, mais c'est une tâche qui a déconcerté les mathématiciens pendant des siècles

"Auparavant, nous n'avions que des oranges en cadeau, et nous en étions ravis !" C'est une phrase que vous entendez parfois lorsqu'une personne âgée critique la somptueuse quantité de cadeaux que les enfants d'aujourd'hui reçoivent. Ce qu'ils mentionnent rarement, c'est l'emballage cadeau. Disons que vous vouliez offrir cinq oranges en cadeau : comment arrangeriez-vous les fruits pour qu'ils consomment le moins d'espace et de papier d'emballage possible ?

Il s'avère qu'il y a beaucoup de mathématiques derrière cette question apparemment anodine. Après tout, il a fallu plus de 400 ans pour prouver ce que les marchands de fruits savaient depuis des temps immémoriaux : que l'empilement optimal de boules infinies dans un espace tridimensionnel est obtenu en les disposant en forme de pyramide. Une solution vérifiée à cette énigme, connue sous le nom de conjecture de Kepler, n'a été publiée qu'en 2017. La situation est cependant assez différente si l'on ne considère qu'un nombre fini d'objets.

Étonnamment, les mathématiciens n'ont abordé ce dernier type de problème qu'à la fin du XIXe siècle. Le géomètre norvégien Axel Thue a été le premier à étudier l'arrangement optimal d'un nombre fini de cercles bidimensionnels en 1892. Des progrès importants dans le domaine n'ont suivi que dans les décennies suivantes, lorsque le mathématicien hongrois László Fejes Tóth a abordé le sujet.

Pour avoir une meilleure idée du problème, il est utile de considérer d'abord un cas bidimensionnel simplifié. Par exemple, on peut essayer de disposer plusieurs pièces de même taille de la manière la moins encombrante possible. Pour ce faire, nous les décrivons avec un morceau de ficelle, que nous tirons étroitement ensemble, et calculons la zone que la ficelle enferme. Pour n = 2 pièces, la disposition optimale est rapidement trouvée : on les pose de manière à ce qu'elles se touchent. La chaîne la plus courte qui enferme les deux pièces de rayon r a alors une longueur de (4 + 2π)r.

Cette longueur est mieux calculée section par section : Additionnez la partie droite de la corde (4 xr) plus les zones rondes qui entourent un cercle au total (2πr). La chaîne contient une aire totale de (4 + π)r2. Dans ce cas, il n'y a évidemment plus moyen de ranger les pièces de monnaie de façon peu encombrante.

En revanche, si l'on dispose de trois pièces, il y a soudain deux dispositions différentes qui semblent peu encombrantes : soit on les aligne côte à côte, soit on les place le long des angles d'un triangle équilatéral. Dans le premier cas, la ficelle aurait une forme de boudin, c'est pourquoi on l'appelle un paquet "saucisse" en mathématiques. Le deuxième cas est appelé un pack "pizza" par les experts. Mais quelle disposition est la plus peu encombrante : emballage de saucisses ou emballage de pizza ?

Il s'avère que le pack de pizza est meilleur. La longueur de cette chaîne est (6 + 2π)r, et la zone couverte est en conséquence (6 + √ 3 + π)r2, tandis que la chaîne du paquet de saucisses est longue de (8 + 2π)r et contient une zone de ( 8 + π)r2. Si vous regardez attentivement, cette différence peut également être vue directement sur les photos. Les espaces entre les pièces de monnaie dans l'arrangement de saucisses sont plus grands que dans le paquet de pizza.

En fait, une formule générale peut être donnée pour la longueur requise de la corde et la zone confinée. Si l'on dispose n pièces en forme de boudin, on a besoin d'une chaîne de longueur 4(n – 1 + 2π)r, qui renferme une aire de 4(n – 1)r2 + πr2 . En revanche, si les pièces sont disposées le long d'une grille triangulaire dont la forme ressemble le plus possible à un hexagone régulier, il suffit d'une chaîne de longueur 2(n + π)r englobant une aire de (2n + √ 3(n – 2) + π)r2.

Ainsi, nous avons montré que le paquet de pizza est plus économe en espace que la forme de saucisse pour n'importe quel nombre de n cercles. Mais est-ce vraiment toujours optimal ? Déterminer cela est une tâche beaucoup plus difficile. Après tout, il pourrait y avoir un arrangement complètement chaotique de cercles qui prend encore moins de place. L'élimination de tels cas s'avère extrêmement difficile. C'est là qu'intervient le mathématicien hongrois László Fejes Tóth. En 1975, il a conjecturé que l'assemblage optimal de n cercles est un arrangement dans un réseau triangulaire qui forme la forme d'un hexagone aussi régulier que possible.

En 2011, le mathématicien Dominik Kenn a pu montrer que cette idée est valable pour presque toutes les valeurs de n. Et en fait, le cas limite où vous couvrez un plan infini avec un nombre infini de pièces pourrait également être prouvé. En 1773, le physicien et mathématicien Joseph Louis Lagrange a découvert que l'arrangement le long d'un réseau triangulaire est optimal, tant que vous ne considérez que les emballages ordonnés. Ce n'est qu'en 1940 que Fejes Tóth a finalement montré que cette solution est également plus économe en espace que n'importe quel arrangement chaotique de cercles.

Mais qu'en est-il des sphères ? Il ne sera probablement pas surprenant que le cas tridimensionnel soulève encore plus de questions que l'emballage circulaire optimal dans le monde bidimensionnel. Nous avons au moins un indice pour commencer : la conjecture de Kepler stipule qu'une infinité de sphères identiques remplissent mieux l'espace tridimensionnel si vous les empilez comme des boulets de canon. Au premier niveau, vous les disposez le long d'une grille triangulaire comme des pièces de monnaie dans le cas bidimensionnel, et au deuxième niveau, vous placez une sphère dans chaque espace. Le troisième niveau est alors à nouveau identique au premier, et ainsi de suite. (Ces sphères, en d'autres termes, ressemblent aux piles pyramidales d'oranges à l'épicerie.)

Mais si l'on ne considère qu'un nombre fini de sphères, la situation est tout autre. Nous revenons maintenant à l'exemple des oranges enveloppées dans du papier d'emballage. Si vous n'avez qu'une ou deux oranges, il est immédiatement clair comment les disposer de manière optimale. Si vous en avez trois, la tâche est plus compliquée. Vous pouvez les disposer en rangée (paquet de saucisses) ou former un triangle avec eux comme avant (paquet de pizza). La situation est similaire aux trois pièces, sauf que vous avez affaire à des sphères. Pour savoir quel pack est le plus peu encombrant dans ce cas, vous pouvez comparer les volumes des rangements.

Pour commencer, il est utile de décomposer à nouveau la coque des sphères en formes géométriques individuelles et d'additionner leurs volumes. Dans le cas du paquet de saucisses, c'est assez simple : la forme peut être divisée en un cylindre et une sphère, qui ont un volume total de 16⁄3π r3 ≈ 16,76r3. Le pack de pizza est un peu plus compliqué. Vous obtenez trois demi-cylindres, un prisme triangulaire et une sphère, dont le volume combiné est 13⁄3πr3 + 2√ 3r3 ≈ 17.08r3. Donc, dans ce cas, le paquet de saucisses est beaucoup plus économe en espace. Et il s'avère que l'arrangement de saucisses peut vraiment être emballé de manière optimale.

Si vous ajoutez une sphère supplémentaire de sorte que n = 4, vous pouvez distinguer trois arrangements différents. Là encore, vous pouvez aligner des boules ou des oranges les unes après les autres (saucisse) ou les répartir dans l'avion (pizza). Mais vous pouvez également utiliser les trois dimensions spatiales et les empiler, un arrangement appelé pack "cluster". Même pour quatre balles, on peut prouver que le paquet de saucisses est optimal car il nécessite le plus petit volume.

Avec plus de sphères, cependant, les choses se compliquent. Les mathématiciens ont supposé que le paquet de saucisses est optimal pour jusqu'à n = 55 balles. Mais en 1992, les mathématiciens Jörg Wills et Pier Mario Gandini ont déterminé qu'un cluster pack économise plus d'espace pour 56 sphères. Cependant, ce à quoi ressemble exactement ce cluster n'est pas clair. Les mathématiciens ont pu trouver un meilleur arrangement que le paquet de saucisses pour les balles, mais n'ont pas pu montrer qu'il était optimal. Il peut y avoir un autre arrangement qui prend encore moins de volume.

La transition abrupte d'une chaîne unidimensionnelle ordonnée à un groupe tridimensionnel est connue dans les cercles d'experts comme une "catastrophe de la saucisse". Wills et Gandini ont prouvé que les arrangements avec 59, 60, 61 ou 62 sphères, ainsi que toutes les collections avec au moins 65 boules, forment également de manière optimale un cluster. Pour toutes les autres quantités, c'est-à-dire lorsque n est inférieur à 56 ou égal à 57, 58, 63 ou 64, le paquet de saucisses semble être optimal. Cela signifie qu'avec jusqu'à 55 boules, le paquet de saucisses est probablement optimal, avec 56 boules, un paquet de grappes est le meilleur, et avec 57 ou 58 boules, une saucisse serait à nouveau l'arrangement le plus peu encombrant. Avec 59, 60 ou 61 sphères, nous revenons à l'amas.

Cette réponse ne semble pas particulièrement intuitive. Et personne n'a été en mesure de le prouver hors de tout doute.

Les mathématiciens ne seraient pas des mathématiciens s'ils s'arrêtaient à trois dimensions. Alors, à quoi ressemble l'empilement optimal de n boules à quatre dimensions dans un espace à quatre dimensions ? Dans les dimensions supérieures, représentées par d, une distinction est faite entre la saucisse (une chaîne unidimensionnelle), le cluster (une accumulation de boules dans tout l'espace de dimension d) et les emballages de pizza. Ce dernier représente une sorte de transition par rapport aux deux autres cas : il comprend toutes les situations dans lesquelles les sphères sont distribuées dans plus d'une et moins de d dimensions.

En fin de compte, il semble également y avoir une catastrophe de la saucisse en quatre dimensions, bien qu'elle se produise beaucoup plus tard que dans le cas en trois dimensions. Gandini et sa collègue Andreana Zucco ont prouvé en 1992 qu'en d = 4, le pack cluster est plus compact que le pack saucisse dès lors que l'on a au moins n = 375 769 boules.

Et que dire de la pizza ? Wills et les mathématiciens Ulrich Betke et Peter Gritzmann ont montré en 1982 qu'une pizza n'est jamais l'emballage optimal en trois et quatre dimensions. Les balles remplissent tout l'espace (cluster) ou forment une ligne (saucisse). Seuls ces deux cas extrêmes peuvent produire un agencement de garnissage optimal.

En 1975, Fejes Tóth a exprimé sa désormais célèbre "conjecture de la saucisse" pour les dimensions supérieures. Selon lui, le paquet de saucisses est optimal pour tout nombre fini de sphères en cinq dimensions ou plus. Même si cette conjecture n'a pas encore été définitivement prouvée, Betke et son collègue Martin Henk ont ​​pu montrer en 1998 que la conjecture de la saucisse s'applique dans des dimensions spatiales de 42 ou plus.

En bref, si vous offriez des oranges à 42 dimensions pour Noël, il serait préférable de les disposer en ligne. Et si, comme dans la question initiale, vous n'offriez que cinq de ces fruits tridimensionnels, alors un emballage de style saucisse serait parfait.

Imaginez maintenant à quel point la tâche devient compliquée lorsque vous ne voulez pas emballer des oranges mais des figurines de dinosaures ou des poupées. L'emballage cadeau est clairement un domaine riche en énigmes mathématiques.

Cet article a paru à l'origine dans Spektrum der Wissenschaft et a été reproduit avec permission.

Manon Bischoff est physicien théoricien et éditeur chez Spektrum, une publication partenaire de Scientific American. Crédit : Nick Higgins

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Daniel Cusick et E&E News