Une forme géométrique qui ne se répète pas lorsqu'elle est carrelée

Rapport du 23 mars 2023

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par Bob Yirka, Phys.org

Un quatuor de mathématiciens de l'Université du Yorkshire, de l'Université de Cambridge, de l'Université de Waterloo et de l'Université de l'Arkansas a découvert une forme géométrique 2D qui ne se répète pas lorsqu'elle est carrelée. David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan et Chaim Goodman-Strauss ont écrit un article décrivant comment ils ont découvert la forme unique et ses utilisations possibles. Leur article complet est disponible sur le serveur de prépublication arXiv.

Lorsque les gens carrelent leurs sols, ils ont tendance à utiliser des formes géométriques simples qui se prêtent à des motifs répétitifs, tels que des carrés ou des triangles. Parfois cependant, les gens veulent des motifs qui ne se répètent pas, mais cela représente un défi si les mêmes types de formes sont utilisés. Dans ce nouvel effort, l'équipe de recherche a découvert une forme géométrique unique qui, si elle est utilisée pour le carrelage, ne produira pas de motifs répétitifs.

Dans leur scénario, les chercheurs ont noté que le carrelage fait référence à l'assemblage de formes de sorte qu'il n'y ait pas de chevauchement ni d'espace. Le carrelage qui n'a pas de motifs répétitifs est connu sous le nom de carrelage apériodique et est généralement obtenu en utilisant plusieurs formes de carreaux. Pendant de nombreuses années, les mathématiciens ont étudié l'idée de créer des formes qui pourraient être utilisées pour créer une variété infinie de motifs lorsqu'ils sont carrelés.

L'une des premières tentatives a abouti à un ensemble de 20 426 tuiles. Cela a été suivi par le développement des carreaux Penrose, en 1974, qui se présentent sous la forme d'ensembles de deux losanges de formes différentes. Depuis ce temps, les mathématiciens ont continué à rechercher ce qui est devenu connu sous le nom de forme "einstein" - une forme unique qui pourrait être utilisée à elle seule pour le pavage apériodique.

Notamment, le nom vient de l'expression "une pierre" en allemand, et non du célèbre physicien. Dans ce nouvel effort, le groupe de recherche affirme avoir trouvé la forme insaisissable d'Einstein et l'avoir prouvé mathématiquement.

La forme a 13 côtés et l'équipe l'appelle simplement "le chapeau". Ils l'ont trouvé en réduisant d'abord les possibilités à l'aide d'un ordinateur, puis en étudiant à la main les plus petits ensembles résultants. Une fois qu'ils ont eu ce qu'ils croyaient être une bonne possibilité, ils l'ont testé à l'aide d'un logiciel combinatoire et ont ensuite prouvé que la forme était apériodique en utilisant un argument d'incommensurabilité géométrique. Les chercheurs concluent en suggérant que l'application la plus probable du chapeau est dans les arts.

Plus d'information: David Smith et al, Un monotile apériodique, arXiv (2023). DOI : 10.48550/arxiv.2303.10798

Informations sur la revue :arXiv

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